ما المقصود بفترة الثقة (Confidence Interval)؟
فترة الثقة هي المجال أو المدى من القيم يتم حسابه باستخدام بيانات العينة، ومن المحتمل بدرجة ثقة معينة أن يحتوي هذا المجال على القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع مثل المتوسط أو التباين.
حيث نقوم من خلال حساب فترة الثقة استخدام عملية التقدير الإحصائي لمعلمة المجتمع الإحصائي المجهول بفترة (مدى) معين من القيم باحتمال معين، ويسمى هذا الإحتمال مستوى الثقة ويرمز له بالرمز (α-ا)%.
ولذلك تسمى فترة الثقة لأنها تُعطينا مدى ثقتنا بأن هذه المعلمة ستقع بين الحد الأدنى والحد الأعلى للفترة.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت فترة الثقة 95% لمتوسط المجتمع تتراوح بين 45 و50، فهذا يعني أن الباحث يثق بنسبة 95% أن المتوسط الحقيقي للمجتمع الأصلي يقع بين هاتين القيمتين.
مثال أخر:إذا كان متوسط المبيعات اليومية لإحدى المبيعات اليومية لإحدى المحلات التجارية تتراوح بين 150 ألف ريال إلى 250 ألف ريال، وذلك بدرجة ثقة تساوي 95%.
ومن ثم نلاحظ تكمن أهمية فترات الثقة أنها تمنحنا مزيداً من المرونة في التقديرات الإحصائية لمعالم المجتمع، عكس التقديرات بنقطة تقدم رقم واحد دون مراعاة هذا التفاوت، ومع ذلك يتم استخدام طريقة التقدير بنقطة في البحث العلمي.
ما هي طريقة تفسير فترات الثقة وفهم النتائج؟
لنفترض أن لدينا شركة تجارية، وتم تقدير فترة الثقة لمتوسط مبيعاتها بدرجة ثقة تساوي 95% وكان متوسط المبيعات تتراوح بين 150ألف ريال إلى 250 ألف ريال ، فإنه يتم تفسير النتائج كما يلي:
هذا يُعنى أن قيمة متوسط المبيعات من المُحتمل أنها ستقع بين 150 ألف ريال و 250 ألف ريال، بدرجة ثقة 95%، وهذا يمكن كتابته كما يلي:
P (150000 ≤ µ≤250000)=95%
وبالتالي نلاحظ أنه ليس من المعتقد أن تصل المبيعات إلى 300 ألف ريال سعودي لأنها لا تقع خلال الفترة المُقدرة.
وسوف نتناول في الجزء التالي قانون فترة الثقة وكيفية حسابه خطوة بخطوة تابع الشرح.
كيفية حساب فترة الثقة في التحليل الإحصائي خطوة بخطوة؟
سوف تناول حالتين لحساب فترة الثقة:
فترة الثقة في حالة العينات الكبيرة.
فترة الثقة في حالة العينات الصغيرة.
اولًا: كيفية حساب فترة الثقة لمتوسط المجتمع µ في حالة العينات الكبيرة عندما تكون (n≥30)
إذا كانت العينة المسحوبة من المجتمع الإحصائي كبيرة (n≥30)، فإن توزيع العينة يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي =µ وانحراف معياري (خطأ معياري)= σ أو s حيث
أولًا: أقوم بحساب قيمة السيجما σ للمجتمع، ومن المعروف أن هناك حالتين للمجتمع إما بيانات المجتمع معلومة أو بيانات المجتمع مجهولة، ولذلك هناك قانونين لحساب قيمة سيجما كما يلي:
إذا كانت σ للمجتمع معلومة
إذا كانت σ للمجتمع غير معلومة
ثانيًا: يتم استخدام قيمة سيجما التي تم الحصول عليها من الخطوة السابقة، وإيجاد فترة الثقة للوسط الحسابي بمستوى ثقة (α-ا)%، وبالتالي يوجد لدينا قانونين أيضًا في حالة استخدام قانون إيجا قيمة سيجما المعلومة أو في حالة القانون الثاني عندما قيمة تكون غير معلومة، والقانون هما كما يلي:
ونلاحظ أن لكل قانون حد أعلى وحد أدنى لأننا نقوم بإيجاد فترة وليست قيمة واحدة.
ما هي قيمة z الموجودة في قانون حساب فترة الثقة في التحليل الإحصائي؟
حيث تتحدد قيمة Z α/2 من جدول التوزيع الطبيعي المعياري عن طريق الكشف العكسي في الجدول، و للتبسيط سوف أعرض لك جدول لقيم z لأكثر معاملات الثقة المستخدمة في الواقع العلمي والأكثر استخدامًا عمومَا ، والجدول كما يلي:
|
معامل الثقة (α-ا)% |
مستوى المعنوية α |
الدرجة المعيارية 𝑧𝛼/2 |
|
90% |
10% |
1.56 |
|
95% |
5% |
1.96 |
|
99% |
1% |
2.58 |
ونجد أن قيمة z المقابلة لفترة ثقة معينة يتم إيجادها عن طريق البحث في جدول التوزيع الطبيعي المعياري، ومن المفضل حفظ الثلاث قيم z الموجودين في هذا الجدول لأنهم الأكثر استخدامًا في المسائل.
مثال تطبيقي لحساب فترة الثقة في حالة العينات الكبيرة.
مثال: إدارة البحوث لإحدى الشركات المنتجة للسيارات تريد تقدير متوسط سعر السيارة المنتجة من قبل هذه الشركة والمباعة في سوق السيارات المستعملة، حيث قامت باختيار عينة من 225 سيارة من سجلات السيارات للسوق المستعمل في العام الماضي فوجد أن متوسط سعر السيارة 420000 ريال بانحراف معياري 8000 ريال والمطلوب هو كما يلي:
التقدير لنقطة لمتوسط سعر بيع السيارة في سوق المستعمل؟
إنشاء فترة ثقة لمتوسط 95% لمتوسط سعر بيع السيارة ثم فسر النتيجة التي توصلت إليها؟
هل تعتقد أنه من المعقول أن يكون متوسط سعر السيارة في السوق تصل إلى 45000 ريال ولماذا؟
الحل:
بما أن: نجد من المعطيات في المثال كما يلي:(n=225، x̄=42000، s=8000)
والتوزيع المستخدم هو التوزيع الطبيعي لأن حجم العينة كبير أكبر من 30، ونجد أيضًا قيمة السيجما معلومة وبالتالي نستخدم s.
إذن:
1-إيجاد التقدير بنقطة لمتوسط سعر السيارة= x̄=µ=42000 ريال
2-لإيجاد فترة الثقة 95% للمتوسط، فإن باستخدام الجدول السابق لقيم z المقابلة لدرجة الثقة 95% تساوي 1.96. وبتطبيق القانون .
وتفسير النتائج: هذا يُعنى أن قيمة المتوسط من المُحتمل أنها ستقع بين 40954.33 ريال و 43045.33 ريال، بنسبة 95%، وهذا يمكن كتابته كما يلي:
P (40954.333 ≤ µ≤ 43045.333)=95%
3-لا يمكن القول بأن متوسط سعر السيارة في السوق 45000 ريال نظرًا لأن هذه القيمة تقع خارج حدود فترة الثقة
إقرأ أيضًا أنواع العينات، والفرق بين العينة العشوائية والغير عشوائية.
ثانيًا: كيفية حساب فترة الثقة لمتوسط المجتمع µ في حالة العينات الصغيرة (n <30).
في حالة σ غير معلومة وحجم العينة صغير، تكون الخطوات لإيجاد فترة الثقة كما يلي:
حيث نستخدم توزيع أخر يسمى توزيع t، وهو توزيع سبيه بالتوزيع الطبيعي في أنه توزيع متصل ومتماثل، ووسطه الحسابي يساوي صفر إلا أن انحرافه المعياري لا يساوي 1.
في حالة انشاء فترة الثقة لمتوسط المجتمع فإن درجة الحرية= حجم العينة -1
df=n-1
كيفية استعمال جدول t لإيجاد فترة الثقة؟
الكشف في جدول t نأخذ المثال التالي للتوضيح.
إذا كان حجم العينة المسحوب من المجتمع n=15 و كانت درجة الثقة 95%.
فإن قيمة t التي تُحسب من الجدول تكتب كالتالي:
وبالتالي يكون قانون فترة الثقة لمتوسط مجتمع عندما تكون حجم العينة صغيرة وسيجما للمجتمع غير معلومة تكون كما يلي:
مثال تطبيقي لحساب فترة الثقة في حالة العينة صغيرة.
أخذت عينة حجمها 16 عامل من عمال أحد المصانع، فوجد أن متوسط الأجر اليومي للعامل هو 100 جنيه ، بانحراف معياري= 10 جنيه، فما هو تقدير الأجر اليومي للعامل في المصنع كله عند مستوى ثقة 90%؟
الحل: بما أن من المعطيات n=15 أي حجم المجتمع صغير، وقيمة سيجما غير معلومة.
إذن سوف استخدم قانون توزيع t لحساب فترة الثقة.
إقرأ أيضًا أنواع التقدير الإحصائي، مع التوضيح بأمثلة لفترات الثقة.
تم تناول شرح كيفية حساب فترة الثقة خطوة بخطوة، فهي تُعد من المواضيع الهامة في الإحصاء والتحليل الإحصائي، ومن المواضيع الهامة المتعلقة بالتقديرالإحصائي للبيانات.
ولخدمات التحليل الإحصائي يمكنك التواصل من خلال رابط الواتس أب.
تعليقات
إرسال تعليق